MOVIMIENTO ONDULATORIO

MOVIMIENTO ONDULATORIO

Elementos del movimiento ondulatorio.-

En todo movimiento ondulatorio se distinguen los siguientes elementos:

La longitud de onda (l) es la distancia que existe entre dos puntos consecutivos de la perturbación que oscilan en la misma fase, es decir que se encuentran en el mismo estado de vibración. Su unidad de medida en el S.I. es el metro (m).

La amplitud.- es la distancia de una cresta a donde la onda está en equilibrio. La amplitud es usada para medir la energía transferida por la onda. Cuando mayor es la amplitud, mayor es la energía transferida (la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud).

El período.- (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda o lo que es igual al tiempo que tarda cada punto de la perturbación en realizar una oscilación completa. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo (s).

La frecuencia.-  (f) es el número de longitudes de onda que avanza la onda en cada segundo o lo que es igual al número de oscilaciones completas que realiza cada punto de la perturbación en cada segundo. Su unidad de medida es el Hertz (Hz). El período y la frecuencia son inversos entre sí.

La velocidad de propagación.- (V) es la distancia que recorre la perturbación en cada segundo. Como el tiempo que tarda la propagación en avanzar una longitud de onda l es T, entonces:

El sonido es una onda mecánica longitudinal que se puede propagar por sólidos, líquidos y gases. En su desplazamiento por los gases origina variaciones de presión, densidad y desplazamiento de las masas de gas por el que se propaga. Al llegar al oído actúa sobre la membrana del tímpano y, a través de la cadena de huesecillos del oído medio, transmite al cerebro por el nervio auditivo la percepción del sonido.

Las ondas sonoras capaces de ser detectadas por el oído humano van desde 20 Hz (umbral inferior) a 20000 Hz (umbral superior). Por debajo de 20 hz están los infrasonidos (mareas, ondas sísmicas) y por encima de 20000 Hz, los ultrasonidos (como el sonar, de baja energía, y las vibraciones de las redes cristalinas (cuarzo), de alta energía).

Velocidad de propagación en una cuerda tensa

Determinemos la velocidad del movimiento ondulatorio generado en una cuerda tensa delgada cuando en uno de sus extremos se produce una perturbación transversal. Se comprueba experimentalmente que si la cuerda es uniforme y homogénea el pulso viaja a una velocidad constante.

Para este análisis consideremos que la onda transversal viaja hacia la derecha por la cuerda con una velocidad de módulo V y consideraremos un sistema de referencia que se mueve en la misma dirección de la perturbación y con la misma velocidad respecto de la tierra. Para un observador ubicado en este sistema la cuerda se moverá hacia la izquierda con una rapidez V pasando a través de una superficie que tiene la forma de un montículo.

Analicemos una porción de cuerda de longitud L que pasa a través del montículo. Un arco de longitud L suficientemente pequeño es el arco de una circunferencia de radio R. Las fuerzas externas que actuan sobre el elemento de cuerda son las fuerzas de tensión T tangentes a la cuerda como se muestran en la figura mostrada arriba (supondremos que la fuerza gravitacional es pequeña en comparación con la tensión de la cuerda). Los componentes horizontales de T se equilibran ya que la velocidad horizontal es constante. Las componentes verticales se suman y su suma es la fuerza resultante sobre ese elemento de cuerda.

Del diagrama vemos que:

donde m es la masa del elemento de cuerda y q es el ángulo central subtendido por esta.

Como para ángulos lo suficientemente pequeños el seno de un ángulo (en radianes) es aproximadamente igual al valor de este ángulo, se cumplirá en este caso que Sen q /2 es aproximadamente igual a q /2:

También como q = (L / R):

de donde simplificando y haciendo que la masa por unidad de longitud (m/L), es decir la densidad lineal de masa, sea igual a m tenemos que:

Como podemos apreciar, la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda tensa no depende ni de su frecuencia, ni de su longitud de onda ni de su amplitud.

En general, las expresiones para determinar la velocidad de propagación de una perturbación mecánica, depende si el medio es sólido, líquido o gas, pero todas tienen la siguiente forma:

Como veremos a continuación.

Velocidad de propagación en sólidos

La velocidad de propagación de una onda longitudinal en una varilla rígida delgada viene dada por la siguiente expresión:

Siendo E el módulo de rigidez o de elasticidad de la varilla (N/m²) y D es su dendidad (kg/m³). Los resultados de esta fórmula coinciden bastante bien con los resultados experimentales solo para el caso de la varillas delgadas.

Velocidad de propagación en gases

Como el proceso de propagación de una condensación, en un gas, es muy rápido, la compresión y el enrarecimiento de éste pueden considerarse adiabáticos, es decir, que se producen sin intercambio de calor. Todo proceso adiabático está caracterizado por un número denominado coeficiente adiabático g,que para el caso de gases monoatómicos es g = 1,67 y para el caso de gases diatómicos es g =1,40.

En los gases ideales la velocidad de propagación de una perturbación en un gas, y en particular, la velocidad del sonido en un gas, viene dada por la siguiente expresión:

siendo T la temperatura absoluta del gas, M es la masa molecular del gas y R es la constante universal de los gases.

De esta relación se aprecia que que la velocidad de propagación de una deformación en un gas es proporcional a la raiz cuadrada de la temperatura y no depende de la presión del gas. Para un determinado gas se cumple que:

Conocida la velocidad a una temperatura absoluta (kelvin) se deduce, de la relación anterior, la velocidad a cualquier otra temperatura.

Temperatura (ºC)	Velocidad en el aire (m/s)
0	332
10	338
20	344
30	349
40	355

También es importante señalar que la velocidad de propagación de una onda un gas también es inversamente proporcional a la raiz cuadrada de su masa molecular. Así la velocidad de propagación del sonido en el hidrogeno (H₂) es aproximadamente cuatro veces la velocidad de propagación del sonido en el aire constituido en su mayor parte por oxigeno (O₂).

Ecuación de una Onda

Uno de los determinantes de la forma de una onda es el movimiento de la fuente generadora de la perturbación que origina la onda.

Consideremos el caso que la fuente ejecuta un movimiento armónico simple. La ecuación del movimiento de un punto ubicado en el origen de coordenadas x=0 es.

Según esta ecuación el punto ubicado en el origen de coordenadas se mueve inicialmente en la dirección +Y. Un punto ubicado a una distancia horizontal x del origen de coordenadas experimentará el mismo movimiento después de un tiempo t = t - x/V. Por lo tanto la ecuación del movimiento de este punto será:

	»

que es la ecuación del movimiento de una onda transversal que se propaga en la dirección positiva del eje de las X.

Si la onda se propaga en la dirección negativa del eje X, su ecuación será:

La relación sin dimensiones t / T mide el tiempo en unidades del período de movimiento y la relación sin dimensiones x / l mide la distancia a lo largo de la onda en unidades de longitud de onda.

Se define usualmente el número de onda K como el número de ondas que existen en 2p metros de longitud a lo largo de la onda, es decir:

Utilizando esta expresión y teniendo presente que w = 2p / T es la frecuencia angular, la ecuación del movimiento de una onda armónica transversal será:

que es una forma muy usada en el análisis del movimiento ondulatorio. En esta ecuación se usará el signo menos (-) del doble signo cuando la onda se propage hacia la derecha (+x) y positivo (+) cuando se propage hacia la izquierda.

La ecuación anterior la hemos deducido suponiendo que inicialmente el punto del extremo se mueve inicialmente hacia arriba y la onda se propaga hacia la derecha. Si, en cambio este punto se mueve armónicamente e inicialmente se mueve hacia abajo la ecuación de la onda será:

Esto es válido para todo tipo de onda armónica. Según esto la energía de cualquier onda armónica es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud.

Interferencia de Ondas - Principio de Superposición

Si existe no un foco de ondas, sino varios, cada punto del medio de propagación toma parte simultáneamente de varios movimientos ondulatorios. Este fenómeno se conoce con el nombre de interferencia de ondas.

Siempre es posible considerar las oscilaciones de una magnitud física (desplazamiento, velocidad, presión, etc), que se producen gracias a la acción de varias ondas, como una suma de oscilaciones en la que cada una de ellas tendría lugar como si las demás no existiesen.

Esto se conoce con el nombre de Principio de Superposición, que puede ser enunciado, para el caso de desplazamientos, de la siguiente manera:

Cuando dos o más ondas interfieren, el desplazamiento neto que experimenta que experimenta cada una de las partículas del medio será igual a la suma de los desplazamientos que habrían causado individualmente cada una de las ondas como si las demás no existiesen.

Ver la superposición de dos ondas que se mueven en la misma dirección.

Físicamente, la importancia del principio de superposición, es que hace posible analizar un movimiento ondulatorio complicado descomponiendolo en una combinación de ondas armónicas simples. Según esto:

Ondas Estacionarias

Analicemos el fenómeno de interferencia que se produce cuando dos ondas armónicas que viajan en direcciones opuestas con una frecuencia f y con una misma amplitud A se encuentran.

Para la onda que recorre hacia la derecha tenemos:

y para la onda que viaja hacia la izquierda tenemos:

Siguiendo un razonamiento análogo al caso de interferencia analizado anteriormente se deduce que, si tomamos un punto cualquiera x, la ley del movimiento de este punto puede escribirse como:

donde B es la amplitud el movimiento y su valor es:

De esta relación se puede concluir también que existen puntos sobre el eje X en donde siempre la amplitud B de su movimiento es nula y por lo tanto en todo momento se encuentran en reposo sobre el eje X.

Este estado oscilatorio singular del medio, producido por la interferencia constante de dos ondas viajeras iguales que se mueven en direcciones opuestas, recibe el nombre de onda estacionaria.

En la primera figura de abajo se muestra la interferencia de una onda azul que viaja hacia la derecha con otra onda verde que viaja hacia la izquierda. El resultado de la superposición de estas ondas es la onda estacionaria negra.

En la segunda figura de arriba se muestra la onda estacionaria resultado de la interferencia. Observe como el punto A del medio se mueve de arriba hacia abajo y viceversa al transcurrir el tiempo mientras que el punto B nunca se mueve.

Subrayamos el hecho de que la onda estacionaria no es una onda. Una onda viajera transporta energía; en una onda estacionaria no existe transmisión alguna de energía de un punto a otro. Una onda viajera puede moverse hacia la derecha o hacia la izquierda; la onda estacionaria carece de sentido de propagación. Esta denominación sirve para caracterizar un estado oscilatorio del medio.

En la práctica las ondas estacionarias son creadas en un medio cuando la frecuencia oscilación de la fuente causa ondas reflejadas en el extremo del medio que interfieren con las ondas incidentes de la fuente de tal forma que puntos específicos a lo largo del medio parecen estar en reposo. Esta configuración son solo creadas dentro del medio con específicas frecuencias de vibración; estas frecuencias son conocidas como frecuencias armónicas o simplemente armónicos. En cualquier otra frecuencia diferente a la armónica, la interferencia de las ondas reflejada e incidente resulta en una perturbación del medio que es irregular y no-repetible.

Se puede determinar los modos de vibración de una cuerda mediante la configuración mostrada en la figura de arriba. La cuerda se dispone en forma horizontal, en un extremo se coloca un generador de ondas (vibrador) y en el otro extremo unas cuantas pesas.

En esta cuerda se formarán ondas estacionarias cuando la frecuencia de la vibración del generador sea tal que cada onda generada por el vibrador se encuentre en desfase con cada onda reflejada en su extremo opuesto. Esto garantiza que la longitud L de la cuerda sea un múltiplo entero n de la semi-longitud de onda, es decir:

pero teniendo presente que  deducimos que la frecuencia f con que debe vibrar el generador de ondas, que es igual a la frecuencia de oscilación de la onda estacionaria, debe ser:

siendo V la velocidad de propagación de la onda incidente u onda reflejada. En este caso n define el número antinodos que se desea que se formen en la onda estacionaria. Según esto la frecuencia con que debe oscilar la fuente para que se forme una onda estacionaria depende de cuantos antinodos se desea que se formen.

Según esta relación, la frecuencia oscilación debe ser multiplo entero de la mitad de la inversa del tiempo que tarda la onda en recorrer la cuerda.

La frecuencia que debe tener la onda estacionaria para que se forme n=1antinodo se denomina frecuencia fundamental o primer armónico. La frecuencia para que se forme n=2antinodos se denomina segundo armónico, y es el doble de la frecuencia fundamental. La frecuencia para que se forme n=3antinodos se denomina tercer armónico, y es el triple de la frecuencia fundamental. La frecuencia para que se forme n=4antinodos se denomina cuarto armónico, y es el cuadruple de la frecuencia fundamental. La frecuencia para que se forme n=5antinodos se denomina quinto armónico, y es el quintuple de la frecuencia fundamental. Ver simulación del 1er armónico. Ver simulación del 2do armónico.

Una cuerda tensa de longitud L atada en ambos extremos	Frecuencia fundamental
Segunda armónica	Tercera armónica

Todos los puntos oscilan en fase en el primer armónico. En el resto, todos los puntos o están en fase o desfasados p radianes, alternativamente según el intervalo entre nodos.

Cada armónico tiene su propia longitud de onda l y su propia frecuencia f. Sin embargo, el producto l.fes igual en todos, ya que corresponde a la velocidad de propagación de cada una de las ondas transversales viajeras que componen la onda estacionaria.

Cada instrumento musical produce armónicos cuyas intensidades dependen del instrumento y de cómo lo toque el músico. Cuando un objeto vibra, como por ejemplo una cuerda del piano, produce ondas complejas, que son sumas de determinadas ondas simples.

Imagina que oyes una flauta y después una trompeta emitiendo la misma nota. Puedes distinguir fácilmente ambos sonidos. La razón es que aunque emiten la misma frecuencia fundamental, emiten además otras frecuencias secundarias que se unen a la primera con diferentes intensidades.

Las distintas intensidades con las que cada instrumento emite sus armónicos forman, en conjunto, el sonido completo que oímos. Esta cualidad se conoce como timbre del instrumento.

Los gráficos que recogen la onda combinada resultante de la suma de cada armónico con su intensidad correspondiente se llaman formas de onda. La forma de onda del clarinete, por ejemplo, viene determinada por la suma de fuertes intensidades del tercer, quinto y séptimo armónico, y pequeñas intensidades de los armónicos pares junto con el primer armónico, naturalmente. La forma de onda de la trompeta está dominada por el tercer armónico y un poco de los demás cinco primeros armónicos.